液体表面の圧力のつりあい

物体の運動を扱う力学には、運動の法則というものがあります。その法則によれば、物体は現在している運動をずっと続けようとします。この運動を変化させるには物体に力を加えなくてはいけませんが、力が加わっていなかったり、あるいは力が釣り合っているような場合には、物体の運動は変化せず、ずっと同じ運動を続けます。

水をコップに入れて静置し、しばらく観察すると、水面は動いたりせず静止したままです。いきなり盛り上がったり、突然へこんだりはしません。

静止も運動の一種ですから、このように水面が動かないというのは、水面に力が加わっていないか、加わっている力が釣り合っているという事を表しています。空気には圧力（大気圧）があって、その圧力で水面を押しています。水面には下から押し上げようとする圧力（水が空気を押し返そうとする圧力）があり、これが大気圧と釣り合っているのです。

水銀柱

水ではなくて水銀ではどうでしょう。容器に入れられた水銀は、水と同じように下から大気圧と同じ圧力で空気を押し返しています。

それでは、ここで、表面の位置部分から空気を取り去ったらどうなるでしょうか。当然、その部分の大気圧が0になってしまいますが、水銀の表面を押し上げようとする圧力はどこでも同じですから、その部分だけ押し上げる力が強くなって、水銀の表面は上へと持ち上がります。

下図のように、水銀の表面に内部を真空にしたガラス管を垂直に立ててみます。

すると、水銀の表面は下から押し上げる圧力によってガラス管の内部を上昇していきます。

この後いくらか持ち上がったあと、外部の水銀面との高さの差が一定値になったところで水銀の上昇が止まります。これは、持ち上がった水銀柱が作る圧力と、大気圧が釣り合うためです。

この水銀柱の高さは大気圧が 1気圧=1.013×10⁵(Pa) の時 760(mm) であることが知られています。

この水銀柱の高さを計算で求めてみましょう。

• 水銀の密度　　　　：　ρ(g/cm³)
• 水銀柱の高さ　　　：　h(cm)
• 大気圧　　　　　　：　P₀(Pa)
• 水銀柱の作る圧力　：　P(Pa)
• 管の断面積　　　　：　S(cm²)
• 重力加速度　　　　：　g(m/s²)

とします。物理の法則として、物体が受ける重力は、 質量(kg)×重力加速度(m/s²) で計算される事が知られています。

まず、 h(cm) の水銀柱の 質量(kg) を求めましょう。

水銀柱の体積は Sh(cm³)

水銀の密度が ρ(g/cm³)なので

水銀柱の質量は 従って、水銀柱に加わる重力は

断面積 なので、この水銀柱が作る圧力は

と表せます。

従って、 P₀=P=1000ρhg 、これを解いて、水銀柱の高さは、 と計算することができます。

この式に P₀=1.013×10⁵(pa)

P=13.6(g/cm)³　g=9.8(m/S²)を代入すると

また、この式を見るとわかりますが、水銀柱の高さは管の太さによりません。

水柱の場合

この関係は、水銀柱だけではなく、他の液体でも成立します。

密度が ρ'(g/L) の液体が作る液柱の高さを h'(cm) とすると、 P₀=1000ρ'h'g=1000ρhg が成立します。

よって、 ρ'h'=ρh が成立しますから、液中の高さと密度は反比例の関係になります。

水銀と水で考えてみましょう。水銀の密度 13.6(g/cm³) 、水の密度 1.0(g/cm³) 、として、 h_Hg(cm) の作る水銀柱の圧力が、 h_H2O(cm) の水柱の作る圧力に等しいとします。

すると、 13.6h_Hg=1.0h_H2O 、すなわち h_H2O：h_Hg＝13.6：1.0 が成立します。

この式から、( 1cm の水銀柱の作る 圧力)＝(13.6 cm の水柱の作る圧力)であることがわかります。

1(cm) の水銀柱が 13.6(cm) の水柱と同じ圧力を作るのは、水銀の方が水より密度が 13.6倍 大きいことを考えれば納得できますよね。

水銀柱の上部に揮発性の液体を入れた時の変化

ガラス管内に 760(mm) の水銀柱ができている状態で、そこに飽和蒸気圧 100(mmHg) の液体を注入します。水銀の比重が 13.6(g/cm³) と大きいため、液体は水銀の中を上昇して真空部分に液だまりが生じます。

そのまましばらく放置すると、液体が蒸発して真空部分は圧力が 100(mmHg) の飽和蒸気になります。そのため、水銀柱の高さは 760-100=660(mm) となります。

水銀柱を上から押したうえ、揮発性の液体を入れた時の変化

760(mm) の水銀柱が作られている状態で、ガラス管を上から押し込んで水銀面から出ている高さを 710(mm) にしたとき、指が管を押す力は 760-710=50(mmHg) になります。この状態で、先ほどと同じように液体を注入すると、液体の一部が蒸発して圧力 100(mmHg) の蒸気になります。

そのため、液面はさらに下がって、水銀柱の高さは 760-100=660(mm) となります。したがって水銀面は最初より 710-660=50(mm) 低下します。

指で押す力をさらに大きくして 110(mmHg) にすると水銀柱の高さは 650(mmHg) となりますがここに液体を注入しても気体は生じなくなります。
これは水銀柱を 650(mmHg) 以下にするためには気体の飽和蒸気圧より大きな 110(mmHg)以上の圧力が必要なためです。

【補足】大気圧と水圧

大気圧とは、大気の重みが作り出す圧力です。目に見えず、普段は重みを意識しない空気も、地表から宇宙空間までの高さになると相当の質量になります。

その空気の柱が地表面に作り出す圧力を大気圧というのです。高いところに行くと当然、空気の柱の高さが低くなるので、その分、圧力が小さくなります。

【大気圧】

【水圧】